toe5

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ

ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА


Типовые задачи


Задача 5.1. Определить полную проводимость цепи, используя данные таблицы 5.1. Параметры элементов указаны на схеме в Ом (рис. 5.1).


Решение

Цепь содержит три параллельные ветви и, следовательно, ее полная комплексная проводимость Y равна сумме комплексных проводимостей отдельных ветвей:


Y  =  Y1  + Y2  + Y3  = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3  =

= 1/(R1+jXL) + 1/(-jXC) + 1/R =  G1 jB +  jBC +  G3 =Y e jφ,    (5.1)

где

                          (5.2)

.

Здесь Y модуль комплексной проводимости (или полной проводимости); φ угол, определяющий сдвиг по фазе напряжения и тока .

В соответствии с выражением (5.2) проведем расчет полной проводимости Y и угла φ

G1=6 / (6 2+8 2) =0,06 См;    G= 1/ 10 = 0,1 См ;

BL = 8 / (6 2+8 2) = 0,08 См;     BC =1/5 =0,2 См;

= 0,2 См ;

= 36,87С 37С.

Полная комплексная проводимость Y  в соответствии с формулой (5.1):

Y  =Ye  jφ = 0,2е j37  См .


Задача 5.2. Определить, исходя из данных таблицы 5.2, показания амперметров, если U =220 В. Параметры элементов указаны на схеме в Ом (рис.5.2). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.


Решение

Цепь содержит три параллельные ветви и, следовательно, на каждой из них действует одно и тоже напряжение U.

Представим напряжение в комплексной форме , приняв его начальную фазу ψU  равной нулю,

=220е j0 B.

Определим  по закону Ома комплексные токи в ветвях , и :

=/(-jXC) =220 е j0/(-j4)=

=220 е j0/(40 е - j90) =5,5 е j90 A;

=/(-jXL)= 220 е j/(j100)=220 е j/(100 е  j90) =2,2 е - j90A;    (5.3)

=/(R)= 220 е j/(50) =4,4 е j0A .

Модули комплексных токов являются действующими значениями токов в ветвях, следовательно, показания амперметров составят:

РА1 = 5,5 А;    РА2 = 2,2 А ;    РА3 = 4,4 А.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 5.3).

Вектор напряжения располагается вдоль оси вещественных чисел (в соответствии с принятым значением начальной фазы ψU). Вектор тока в первой ветви   с емкостным элементом опережает напряжения на 90 (см. первое выражение (5.3)) и располагается вдоль оси мнимых чисел. Вектор тока во второй ветви  с индуктивным элементом отстает по фазе от напряжения на 90 (см. второе выражение (5.3)) и располагается вдоль мнимой оси в направлении отрицательных чисел. Вектор тока третьей ветви  с резистивным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением и также как этот вектор  располагается вдоль оси вещественных чисел.

В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи:

= + + .      (5.4)

Ток можно получить сложением векторов по уравнению (5.4) (см. рис. 5.3, ход геометрического сложения векторов показан пунктиром), а его модуль (действующее значение) и аргумент ψI можно определить геометрически из векторной диаграммы:

5,5 А, 36,87 37.

Таким образом,

.

В заключение отметим, что при определенном навыке рассчитать токи в ветвях и построить векторную диаграмму можно без выполнения расчетов комплексным методом.

В этом случае действующие значения токов I1 , I2 , I3  в ветвях (длины векторов на диаграмме) определяются по закону Ома как частное от деления напряжения U на полные сопротивления ветвей (ZL ZC , R ).

Векторная диаграмма строится также с учетов фазовых соотношений напряжений и токов для идеальных элементов ветвей, содержащих L, C и R элементы (см. выше описание хода построения векторной диаграммы) относительно базового вектора вектора напряжения на входе U.





Задача 5.3. Определить потребляемый цепью (рис.5.4) ток и напряжение , если известны параметры элементов цепи в Ом и входное напряжение Uвх=12 В. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Данные для решения приведены в таблице 5.3


Решение


Цепь содержит две параллельные ветви, на каждой из которых действует одно и тоже напряжение Uвх .

Представим в комплексной форме (рис. 5.5) сопротивления элементов цепи и входное напряжение (приняв его начальную фазу ψU  равной нулю) и определим  по закону Ома комплексные токи в ветвях и :


=12 е j B;

Z= R1+ jXL =10 + j10 = 20 e j30 Ом;

Z2= R2 - jXС =20 - j20 = 40e j30 Ом;

=/Z1 =12е j 0/(20e j30)=0,6e j30A;

=/Z2 =12е j /(40 e j 30)= 0,3 e j30 А

или в алгебраической форме записи:

= 0,6cos(-30) + j0,6 sin(-30) == 0,52 - j0,3 А,

= 0,3 cos(30) + j0,3 sin(30) = 0,26 + j0,15 А.

Ток в неразветвленной части цепи определим в соответствии с первым законом Кирхгофа:

= + = 0,52 - j0,3 +0,26 + j0,15 = 0,78 j 0,15 A

или в показательной форме записи комплекса

= = 0,8 е j10,89 A.

Для определения комплексного напряжения составим уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме для контура  асb (обход контура по часовой стрелке):

R2 - - (j XL) = 0.

Откуда

= R2 - (j XL)=

= 20 (0,26 + j0,15) - (j10 )(0,52 - j0,3) = 6+j(0) = 6 e j0 B.


Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 5.6). Для этого найдем напряжения ,,, на соответствующих элементах схемы

= (+ j X) =0,6e -j30 10e j90 = 6 e j60 В;

= R1 = 0,6 e -j30 10 = 10,38 e -j30;

= R2 =0,3 e j30 20 = 10,38 e j30;

= (- j XС ) 0,3 e j30 20 e -j90= 6 e -j60 В.

Построение векторов напряжений на элементах каждой ветви проведено в соответствии с уравнениями, составленными по 2-му закону Кирхгофа:

+ = ;

+= .



Задача 5.4.    Однофазный асинхронный двигатель с параметрами  Rд=30 Ом, Хд=40 Ом включен в сеть переменного тока 220 В.

Определить, используя данные таблицы 5.4, какой величины нужно подключить емкость С, чтобы коэффициент мощности цепи стал равен 0,9.

Решение


Электрическая схема  подключения емкости к обмотке двигателя для улучшения cosφ  изображена на рис.5.7.

Рассчитаем  комплексное сопротивление обмотки двигателя

Ом,

Ток в двигателе и в проводах, питающих этот двигатель при отсутствии компенсации


.

Угол сдвига фаз при этом φДui=0-(-53,8°)=53,8˚, а cosφ=cos53,8°=0,59.

Проводимость обмотки двигателя

См.

Рассчитаем  активную и реактивную составляющие тока двигателя:

IR = UGд = 2200,012 = 2,64 А.

IL= UBд = 2200,016 = 3,52  А.

Для достижения cosφ=0,9, параллельно обмотке двигателя нужно подключить емкость С, проводимость которой  может быть определена из формулы

См,

Определим угол φ:          φ=arccos 0,9 = 25˚50,

Вычисляем BC:                 Bc = 0,016- 0,012tg 25˚50 = 0,0102 См.

Емкостная составляющая тока:

Ic = UBС = 2200,0102 = 2,244 А.

Емкостное сопротивление:

Ом.

Емкость конденсатора

По расчетным значениям токов строим векторную диаграмму (рис. 5.8.):

Здесь ток двигателя до подключения емкости, а ток - результирующий ток после подключения емкости.

Результирующий ток I после компенсации составит

.

В результате компенсации ток в проводах, питающих двигатель (I), уменьшился по сравнению со случаем без компенсации (IД) в 1,5 раза, т.е уменьшились и потери на нагрев в этих проводах



Задача 5.5.   К однофазному асинхронному двигателю, полезная мощность которого Р = 3,7 кВт, а КПД η = 83,5 %, по проводам сопротивлением Rпр = 2 Ом подается напряжение U = 380 В. Двигатель работает с cos φ = 0,707.

Какую емкость нужно включить параллельно двигателю, чтобы повысить cos φ2 до 0,9 ? Как изменяются при этом потери мощности и напряжения в линии? При решении задачи использовать данные таблицы 5.5.





Решение


Определим  величину тока в обмотке двигателя

Вт,

Модуль комплексного сопротивления обмотки

Ом,

Активное сопротивление обмотки

Ом,

Индуктивное сопротивление обмоток

Ом,

Комплексное сопротивление обмотки

Ом,

Комплексная проводимость обмотки двигателя

См,

Угол φ в исходном состоянии схемы

φ = arccos 0,9= 25°50,

Значение емкостной составляющей проводимости ВС, необходимой для обеспечения заданного значения коэффициента мощности 0,9 вычисляем по формуле

См,

вычисляем BC

Bc = 0,0307- 0,0307tg 25°50 = 0,0158 См,

Емкостное сопротивление

Ом,

Емкость конденсатора

Значение тока в проводах и обмотке двигателя, после подключения конденсатора

А,

Потери напряжения в проводах, питающих двигатель, до подключения конденсатора

ΔU1 = IRпр = 16,4932 33 В,

Потери напряжения в проводах после подключения конденсатора

ΔU2 = I2Rпр = 12,9652 26 В,

Потери мощности в проводах, питающих двигатель,

до подключения конденсатора

ΔР1 = I2Rпр = 16,49322 544 Вт,

после подключения конденсатора

ΔР1 = Rпр = 12,96522 335,7 Вт.