toe4

ИССЛЕДОВАНИЕ  НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ  ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ

ЦЕПИ  ПЕРЕМЕННОГО  ТОКА


Типовые задачи


Задача 4.1.  Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 4.1) и входное напряжение  UВХ=141sin 314t В.

Определить напряжение на катушке и построить векторную диаграмму тока и напряжений, используя данные таблицы 4.1.

Решение

Расчет цепи проведем, используя комплексный метод анализа цепей синусоидального тока.

Представим все электрические величины (, ZC ZL , ZR) в комплексной форме (рис. 4.2) и определим комплексный ток цепи

=100ej0 B,

ZC = - j XC ;   ZL = j XL ;   ZR = RK,


где действующее значение входного напряжения UВХ,  В.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательно соединенными элементами ZВХ равно сумме комплексных сопротивлений  этих элементов

ZВХ  = Z+ ZL + Z= - j XC + j XL + Rk =

= Rk +j (X - XC ) = 30 +j (60 - 20) = 30+j40 Ом.

В показательной форме записи

ZВХ = Z ejφ = 50ej53 Ом ;

(Z Ом;

53,1353).

По закону Ома определим величину комплексного тока цепи

= /ZВХ =100ej0/(5ej53) = (100 /5)е j(053) = 2e-j53 A.

Комплексное напряжение на катушке также можно определить по закону Ома, но предварительно следует определить комплексное сопротивление катушки Zk

Zk = Rk +j X = 30+j 60 Ом,

или в показательной форме записи

Zk= Zk ejφk = 67ej 63,4 Ом

(Zk Ом;

) .

Тогда   = Zk = 67ej63,4  2e -j53= (672)ej(63,4-53) = 134 ej10,4 В.

Соответственно мгновенное значение напряжения на катушке

uk = 134 sin 314t = 189 sin 314t В.

Векторные диаграммы напряжений и тока  в неразветвленной цепи синусоидального тока (рис. 4.3) строят на комплексной плоскости в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа (4.1) и с учетом фазовых сдвигов напряжений ,, и тока во времени

                                              (4.1)

Здесь

= ZR = Rk = 302e-j53= 60e-j53 В,

= ZC = (- j XC) = (- j202e-j53) = 20е -j90 2e -j53 = 40 еj143 B,

= ZL = (j XL) = (j 60) 2e-j53 = 60 е-j902e -j53 = 120ej37 B.

Задача 4.2.  Заданы параметры элементов электрической цепи (активные и реактивные сопротивления заданы в Омах) и входное напряжение UВХ=50 В (рис. 4.4). Определить напряжение , потребляемое активную и полную мощности, используя данные таблицы 4.2. Построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Решение

Расчет цепи ведем комплексным методом.


Алгоритм расчета имеет следующий вид: представляем все электрические величины (, ZC , ZL , ZR1, ZR2) в комплексной форме и определяем комплексный ток цепи , далее определяем комплексное напряжение на участке цепи (a b):

=/ZВХ,     = Zаb .

Так как задано действующее значение входного напряжения, то, принимая  его начальную фазу ψUвх равной нулю, запишем :

=50ej0 B.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов ZBX равно сумме комплексных сопротивлений  этих элементов

ZBX  = ZC + ZR1+ ZR + Z= - j XC + R1 + R2 + j XL =

= R1 + R2 + j (X - XC ) = R + j X = 40 j30 Ом .

В показательной форме записи        ZВХ = Z ejφ

Z Ом;

- 36,87 -37;

ZВХ = Z ejφ   =  50 e-j37 Ом.

Определяем комплексный ток цепи

=/ ZВХ = 50ej0/ 50e-j37= 1ej37 А.

Комплексное сопротивление Zаb на участке цепи (a b):

Zаb = ZR2  + ZL = R2 + j X = 30 + j40 Ом;

Zаb  = Zаbejφаb =50ej53 Ом;

(Zаb=50 Ом,  φаb=53,1353).

Находим комплексное напряжение

= Zаb =1e j3750ej53 = 1 50 j(37+ 53) = 50ej90 В.

Определим активную мощность цепи P

P = UI cos φ = 501cos (-37) = 40 Вт.

Активную мощность цепи можно определить и как

P =(R1 + R2 )I2 = 12(10 + 30 ) = 40 Вт.

Полная мощность цепи S равна:

S = UI = 501 = 50 ВА.

Построим векторную диаграмму напряжений и тока цепи в соответствии с уравнением второго закона Кирхгофа  и с учетом фазовых сдвигов напряжений ,,,,, и тока во времени (рис. 4.5):

                             (4.2)

Найдем слагаемые уравнения (4.2) комплексные напряжения на элементах цепи:

= ZC =(- j XC ) = (- j70) 1ej37 = 70еj90 1ej37= 70еj53 B;

= R1 = 101ej37 = 10ej37 В;       = R2 = 401ej37=40ej37 В;

= ZL = (j XL) = ( j 40) 1ej37= 40еj90 1ej37 = 40ej127 B.

Рис. 4.5.

Располагаем вектор тока в выбранном масштабе под углом ψI к оси действительных чисел, откладывая этот угол 37 против часовой стрелки (как и все положительные значения углов).

Геометрическая сумма всех векторов равна вектору входного напряжения , который располагается вдоль оси вещественных чисел (начальная фаза равна нулю).

Построение на векторной диаграмме векторов напряжений производим последовательно к концу одного вектора прикладываем начало следующего вектора в соответствии с уравнением (4.2).

Векторы напряжений на резистивных элементах и совпадают по фазе с током и располагаются параллельно вектору . Вектор напряжения на емкостном элементе отстает по фазе от вектора на 90, а вектор напряжения на индуктивном элементе опережает по фазе вектор тока на 90. Вектор напряжения определяется также в соответствии со вторым законом Кирхгофа как

и располагается перпендикулярно оси вещественных чисел  (ψUаb = 90).


Задача 4.3.  В цепи с параметрами, заданными в Омах, протекает ток (рис. 4.6). Определить, используя данные таблицы 4.3, между какими точками в этой цепи будет наблюдаться наибольшее напряжение. Задачу рекомендуется решать с помощью векторной диаграммы.


Решение

Проведем расчет двумя способами.

Первоначально рассмотрим следующий алгоритм расчета цепи: представляем все электрические величины (, Zi ) в комплексной форме, определяем полное комплексное сопротивление цепи Zmn и далее определяем комплексное напряжение на входе, а также комплексные напряжения на отдельных участках цепи:

= Zmn  ;           = Zij.                            (4.3)

Запишем комплексное значение тока в цепи. Модуль комплексного тока равен действующему значению тока I = Im/2 = 1A, а аргумент комплексного числа равен начальной фазе ψi =20;

= =1e j20 А.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов Zmn равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов

Zmn = j XL1 + R1 + R2 - j XC 1 +j XL2 + R3   - j XC 2  =

= R1 + R2 + R3 + j(XL1+XL2 - XC1 -XC 2) = R + j X = 24 j2 Ом .

В показательной форме записи       

Zmn = Z ejφ = 24,083 e-j4,76 Ом;

где Z Ом;

- 4,76.

Следовательно,

= Zmn = 24,083e - j4,76 1e j20= 24,083 j15,24 В.

Определяем комплексные напряжения на элементах цепи:

= (jXL1) =(j12) 1e j20= 12 е j90 1e j20 = 12e j110 B;

= (jXL2) = ( j6) 1e j20 = 6е j90 1 e j20= 6 j110 B;

= (- j XC1) = (- j10) 1e j20 = 10 е -j90 1e j20 =10е j70  B;     (4.4)

= (- j XC1) = (- j 10) 1 e j20 = 10е -j90 1e j20 = 10е j70  B;

= R1 =91e j20= 9e j0  1e j20= 9e j20 В;

= R2 =71e j20  =7e j 0 1e j20 =7e j20 В;

= R2 =81e j20= 8e j 0  1e j20=8e j20 В.

Далее определяем комплексные сопротивления различных участков цепи Zij:

Zmb  =R1 +j XL1 =9+ j12 = 15e j53 Ом;

Zmс  = R1+ R2+ j XL1 =16+ j12=20e j37 Ом;

Zmd  =R1 + R2 + j( XL1 - XC1)=16+j2=16,125 e j7,125 Ом;

Zme   = R1 + R2 + j( XL1 +XL2 - XC 1)=16+j8 = 17,89e j26,56 Ом;

Zmf   = R1 + R2 + R3+ j( XL1 +XL2 - XC1) =24+j8=25,3e j18,43 Ом;

Zan = R1 + R2 + R3 + j (XL2 - XC1 -XC2) = 24 - j14=27,78 e -j30,26 Ом;

Zbn = R2 + R3 + j (XL2 - XC1 -XC2) = 15 - j14=20,52 e -j43 Ом;

Zсn = R3 + j (XL2 - XC1 -XC2) = 8 - j14 =16,125 e -j60,25 Ом;

Zdn= R3 + j (XL2 - XC2) = 8 - j4=8,25 e -j26,56 Ом;

Zen= R3  - j XC3 = 8 j10=12,8 e -j51,34 Ом;

Za f  = R1 + R2 + R3+ j(XL2 - XC1)=24  -j4=24,33 e -j9,46 Ом;

Zbf  = R2 + R3+ j(XL2 - XC1)=15 - j4=15,5 e -j14,9 Ом;

Zсf  = R3+ j(XL2 - XC1) =8  -j4=8,94 e -j26,56 Ом;

Zdf  = R3 + jXL2=8+j6=10 e j37 Ом;

Z= R2 + j (XL2 - XC1) = 7 - j4= 8,06 e -j29,7 Ом;

Z= R1 + R2 + j (XL2 - XC1) = 16 - j4=16,5 e -j14 Ом;

Zad = R1 + R2  - j XC1 = 16 -j10=18,87 e -j29 Ом;

Zac = R1 + R2 = 16 Ом;

Zce = j (XL2 - XC1) = -j4=4e -j90 Ом.

И, наконец, можем определить в соответствии с (4.3) напряжения на всех участках = Zij .  Однако очевидно, что при последовательном соединении элементов по всем элементам протекает один и тот же ток, и, следовательно, максимальное напряжение будет соответствовать участку цепи с максимальным по модулю сопротивлением, то есть это участок между точками  а  и  n

= Zan =27,78e -j30,261ej20 =27,78e -j10,26 В.

Таким образом, максимальное напряжение U an составляет 27,78В.

Проведем расчет другим способом.

Построим векторную диаграмму цепи (рис.4.7), для которой, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, справедливо:

=+ + +  +++

Тогда, с учетом (4.4)

Из векторной диаграммы, в результате простых и очевидных геометрических соображений, приходим к выводу, что вектор между точками а и n имеет наибольшую длину, то есть наибольший модуль напряжения Uan.

Рассчитать его можно следующим образом:

Uan==

==27,78 В.

Таким образом, получаем тот же результат, что и в предыдущем случае, однако при большей наглядности и меньших затратах времени на вычислительные операции.


Задача 4.4. В неразветвленной электрической цепи, содержащей

R=40 Ом,   ХL=7 Ом и XC=10 Ом, приложенное напряжение U=220 В  при частоте f=50 Гц.

Определить частоту fо, при которой возникает резонанс напряжений, ток Io , а также полную мощность So цепи при резонансе, исходя из данных таблицы 4.4.


Решение

В цепи (рис. 4.8) с последовательно соединенными R, L, C элементами возможен режим, когда реактивное сопротивление X=0  и φ = 0 , что имеет место при равенстве абсолютных значений и индуктивного и емкостного сопротивлений, т. е. при .  При этом  выполняется  условие    и φ =0,  причем действующие значения этих напряжений могут превышать напряжение U на зажимах цепи.

Режим работы электрической цепи при последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного элементов, когда угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю, называется резонансом напряжений.

Следовательно, при резонансе напряжений  X = XL - XC =0, или XL =XC .

Из равенства реактивных сопротивлений  ωL=1/ωC следует, что режим резонанса напряжений в электрической цепи  возникает при частоте

,                                       (4.5)

называемой резонансной, которая определяет частоту незатухающих колебаний данной цепи и характеризует установление в ней наибольшего тока Imах , так как при этом Z min.

Определим индуктивность L и емкость C  рассматриваемой цепи по величинам заданных реактивных сопротивлений:


L  = XL /ω = XL /(2πf)= 7 / (2π⋅50) =22,28 103 Гн =22,28 мГн ,


C =1 /(ω XC) =1 /(2πf XC ) =1/(2π 5010)= 3,183 104 Ф =318,3 мкФ.


Подставим полученные значения L и C в (4.5) определим резонансную частоту

= 59,765 60 Гц.

Определим ток Io, а также полную мощность So цепи при резонансе.


Модуль комплексного сопротивления цепи (полное сопротивление)

,

и так как при резонансе напряжений X = XL - XC =0, то при этом

Z min Z=R, а угол сдвига фаз

.

Следовательно, модуль комплексного тока цепи (равный действующему значению тока цепи) при резонансе

Io= U / R = 220  / 40 = 5,5 A.

Полная мощность цепи при резонансе:

S = U Io = 220 5,5 = 1210 BA.