toe3

Лабораторно-практическое занятие № 3

АНАЛИЗ  ОДНОФАЗНЫХ  НЕРАЗВЕТВЛЕННЫХ

ЦЕПЕЙ  ПЕРЕМЕННОГО  ТОКА С  RL  И  RC  ПРИЕМНИКАМИ


Типовые задачи


Задача 3.1. Заданы  графики изменения  u(t)  и  i(t) (с амплитудами Um=141 В; Im=2,82 А) для участка электрической цепи. Записать функции в тригонометрической и комплексной формах, если f = 50 Гц. Определить полное сопротивление и угол сдвига фаз, используя данные таблицы 3.1. Построить схему замещения цепи.


Решение

Напряжение  u(t) и ток u(t)  изменяются по синусоидальному закону (см. рис. 3.1) с одной частотой, следовательно, мгновенные значения тока и напряжения в цепи записываются:

u =  U sin(ωt+ψu ),

i =  Im sin(ωt+ψi),                   (3.1)

где Um амплитудное значение напряжения; Im амплитудное значение тока;   ω = 2πf угловая частота;          f = 1/T частота синусоидальных напряжения и тока; Т период; ψu - начальная фаза синусоидального напряжения; ψi начальная фаза синусоидального тока

ω = 2πf= 2π⋅50= 314 рад/с ;   ψu= -π /6 = -30  о ;   ψi= π /4 = 45 о .     (3.2)

Начальная фаза напряжения ψu имеет знак (-), так как синусоида u(t) сдвинута по оси абсцисс вправо от начала координат (величина самой функции при  t =0 имеет отрицательное значение). Напомним, что началом любой синусоиды полагается точка перехода функции из отрицательного значения в положительное значение. Поэтому же начальная фаза тока имеет знак (+), так как синусоида i(t)  сдвинута по оси абсцисс влево от начала координат. Таким образом, в соответствии с (3.1) и (3.2) имеем:

u =  141sin (314t 30 о) В,       i =  2,82sin (314t + 45 о) А.

Синусоидальные функции времени изображаются также комплексными числами, которые, по сути, аналитически описывают вращающиеся радиус-векторы на комплексной плоскости, рассматриваемые в момент времени t =0.

Комплексные изображения синусоидальных величин чаще всего записываются для действующих значений. Поэтому в первую очередь определим действующие значения тока и напряжения данной цепи:

Представим u(t) и  i(t) в комплексной форме (показательная форма записи комплексных чисел):

,       .

Модуль комплексного напряжения равен действующему значению напряжения U участка цепи, а аргумент начальной фазе  (начальная фаза синусоидального напряжения ψu)  и, соответственно, модуль комплексного тока равен действующему значению тока I участка цепи, а аргумент начальной фазе  (начальная фаза синусоидального напряжения ψi). Напомним, что такое представление возможно, поскольку ток и напряжения изменяются с одной и той же угловой частотой и, следовательно, изображающие их векторы на комплексной плоскости взаимно неподвижны.

Определим полное комплексное сопротивление цепи

Z = Z e jφ= /  = Ue jψ u / Ie j ψι = (100e  - j30 o ) / (2e  j45 o ) =

=  (100 /2)e j(-30 o- 45 o) = 50e j 75 o Ом,

где  Z полное сопротивление цепи, Ом; φ разность фаз между током и напряжением (угол сдвига фаз), φ < 0.

В  алгебраической форме записи комплексное сопротивление цепи Z имеет вид (переход осуществляется с помощью формулы Эйлера):

Z = Ze jφ =Zcosφ +jZsinφ = R+j X=

= 50cos (-75 ) + j50sin (-75) =12,94 j48,3 Ом.

Здесь  R действительная часть (активное сопротивление), а Х мнимая часть (реактивное сопротивление) комплексного сопротивления цепи Z .

Схема замещения цепи (рис. 3.2) представляется последовательным соединением резистивного элемента R и емкости С, так как  мнимая часть  X комплексного сопротивления цепи имеет отрицательный знак. Цепь носит “емкостной” характер. Об этом также свидетельствует отрицательный знак угла сдвига фаз. Ток опережает напряжение по фазе.


Задача 3.2.  Записать в алгебраической и показательной формах выражение для полного комплексного сопротивления индуктивной катушки с параметрами RК= 3 Ом;  LК= 0,0127 Гн,    f = 50 Гц, используя данные таблицы 3.2.

Построить на комплексной плоскости треугольник сопротивлений.


Решение


Схема замещения реальной индуктивной катушки (рис. 3.3) содержит соединенные последовательно элементы RК и LК.

Полное комплексное сопротивление цепи индуктивной катушки в алгебраической форме записи  

ZК = RК +j XК = 3+ j4 Ом  ,       (3.3)

где  XК= XL=ω L=2π fL - индуктивное сопротивление ,Ом;

   XК=ω LК = 2π f LК = 2π⋅50⋅0,0127 = 3,99 4 Ом.  

На рис. 3.4 представлен треугольник сопротивлений, построенный в соответствии с формулой (3.3) .

В показательной форме комплексное сопротивление цепи индуктивной катушки запишется          ZК= ZК e jφ  Ом.

Из простых геометрических соображений очевидно:

Ом;

53,1353,

где  ZК полное сопротивление цепи;  φ- разность фаз между током и напряжением, следовательно ZК =  5ej53 Ом.

Так как φ>0 (+53),то, как и все положительные углы, он откладывается от оси вещественных чисел против часовой  стрелки. (рис. 3.4)


Задача 3.3. По показаниям приборов (рис. 3.5) определить параметры: R, L, φ, Q, S катушки, если I =0,2 A, U= 3 B, P= 0,36 Вт, f = 300 Гц. Построить векторную диаграмму тока и напряжений, используя данные таблицы 3.3.

Решение


Электроизмерительные приборы показывают действующие значения тока и напряжения, так как в большинстве случаев в них используется принцип электромеханических преобразований.

В рассматриваемой цепи именно в резистивном элементе R происходит безвозвратное (активное) потребление мощности энергия выделяется в виде тепла и рассеивается в окружающую среду. Ваттметр измеряет именно эту мощность, которая пропорциональна  квадрату действующего значения тока и величине активного сопротивления цепи R

.

Следовательно,   R = PR /I2 = 0,36/(0,2)2 = 9 Ом

Полное сопротивление цепи Z можно определить как частное от деления действующего значения напряжения (показание вольтметра) на действующее значение тока (показание амперметра) на входе цепи:

Z = U/I = 3/0,2 = 15 Ом.

В то же время

,            ,

где  XL=ω L=2π f L индуктивное сопротивление L элемента ,Ом.

Тогда XL и φ можно определить как

Ом,

53,1353.

Индуктивность L

L= XL /ω = XL /(2π f)=12/(2π 300 ) = 0,00637 Гн = 6,37 мГн.

Реактивная (индуктивная мощность) характеризует скорость поступления энергии в магнитное поле катушки и возврат ее обратно источнику (обратимый процесс)

QL = ULI = U I sinφ = XLI2 = 12(0,2)2 = 0,48 вар.

Полная мощность

.

Для построения векторной диаграммы тока и напряжений цепи изобразим схему замещения (рис. 3.6).

В соответствии со вторым законом Кирхгофа в комплексной форме:

.           (3.4)

Примем начальную фазу синусоидального тока ψi равной нулю. Тогда комплексный ток цепи

=0,2 ej0= 0,2 A.    (3.5)

Комплексные напряжения на элементах цепи в соответствии с законом Ома в комплексной форме


90,2 = 1,8 В;

= j 12(0,2) = j2,4 = 2,4ej90 В.            (3.6)

Построение векторной диаграммы (совокупность расположенных на комплексной плоскости векторов, изображающих синусоидальные функции времени напряжения и токи) начинаем с изображения в выбранном масштабе вектора (комплекса) тока согласно уравнению (3.5). Располагаем его вдоль оси вещественных чисел (+1), так как ψi = 0 (рис. 3.7.)

Вектор комплексного напряжения на резистивном элементе (изображается в своем масштабе) располагается также вдоль оси вещественных чисел, так как ток и напряжение резистивного элемента совпадают по фазе. Вектор комплексного напряжения на индуктивном элементе располагается вдоль оси мнимых чисел (+j) , так как        ψUL =90 согласно  уравнению (3.6), то есть напряжение на индуктивном элементе по фазе опережает ток на 90.

Построение ведем в соответствии с уравнением (3.4). К концу вектора прибавляем вектор и,  соединив его конец с началом координат, получаем вектор напряжения на входе цепи

= ;

U= ;

ψ = ψI + φ = 0+53 = 53.